BÀI GIẢNG 07: “ HÀM CỘNG TÍNH VÀ KĨ THUẬT TÍNH GIÁ TRỊ THEO HAI CÁCH” A. LÝ THUYẾT 1. Đối với phương trình hàm tự do trên về đa số ta cần xác định giá trị của Sau đây ta đưa ra “ kĩ thuật tính giá trị theo hai hướng” với mục đích thành lập được một phương trình hoặc hệ phương trình một biến. Từ đó xác định được 2. Cụ thể như sau: Chẳng hạn cần tính • Giả sử hoặc • Thay bởi các giá trị phù hợp để xuất hiện hệ phương trình • 3. Cũng có thể sử dụng tư tưởng trên để tìm trực tiếp ra cụ thể như sau: đây thường là phương trình đa thức ẩn là còn coi là tham số. B. BÀI TẬP CHỮA TRÊN LỚP Bài 1. (USAMO 2002, SGK chuyên Toán 12, trang 217) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện HD: • Cho ta được Lại thay ta được Ta chứng minh . Thật vậy • Ta tính theo hai cách sau: hay Mặt khác ta lại có hay Từ • Thử lại thấy thỏa mãn • Kết luận: Nhận xét: Ta có thể khai thác Bài 2. (SGK chuyên Toán 12, trang 218) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện HD: • Chỉ ra • Ta tính theo hai cách hay Mặt khác Hay • Từ • Thử lại thấy thỏa mãn • Kết luận: Bài 3. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện . ĐS: Bài 4. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện . Hướng dẫn: Ta có suy ra suy ra . Thay bởi vào ta có mà suy ra và tập xác định là , suy ra là hàm số lẻ. Suy ra . Ta chứng minh với thật vậy : Ta có Mà Suy ra suy ra với . Vậy cộng tính. Tính theo hai cách : Mà Suy ra . Thử lại thấy thỏa mãn. Bài 5. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện Giải. Thay x = y = 0 vào phương trình hàm, ta được f(0) = - f(0), suy ra f(0) = 0. Thay y = 0 và phương trình hàm, ta được f(x2) = xf(x) (1) Từ đó suy ra f(x2–y) = f(x2) – f(y) Thay x = 0, ta được f(–y) = – f(y). Thay y bằng – y, ta được f(x2+y) = f(x2) – f(–y) = f(x2) + f(y) với mọi x, y. Từ đó, kết hợp với tính chất hàm lẻ, ta suy ra f(x+y) = f(x) + f(y) với mọi x, y. Bây giờ ta có f((x+1)2) một mặt có thể tính theo công thức (1), tức là bằng (x+1)f(x+1) = (x+1)(f(x)+f(1)). Mặt khác, ta có thể khai triển f((x+1)2) = f(x2+2x+1) = f(x2) + 2f(x) + f(1) = xf(x) + 2f(x) + f(1). Từ đó ta được phương trình (x+1)(f(x)+f(1)) = xf(x) + 2f(x) + f(1), suy ra f(x) = f(1)x. Đặt f(1) = a, ta được f(x) = ax. Thử lại vào phương trình ta thấy nghiệm đúng. Vậy f(x) = ax với a  R là tất cả các nghiệm của bài toán. Bài 6. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện ĐS: . Sau khi chứng minh cộng tính. Tính bằng hai cách và tính bằng hai cách, sau đó cộng vế với vế suy ra . Tiếp theo ta lại tính theo hai cách và ra được phương trình bậc nhất theo suy ra . Bài 7. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện ĐS: Bài 8. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện Bài 9. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện Bài 10. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện Bài 11. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện Bài 12. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn điều kiện